36 комбинаций, а не 21
У каждой кости шесть граней, костей две, поэтому всего 6 × 6 = 36 равновероятных исходов. Частая ошибка — считать, что бросков 21: шесть дублей и пятнадцать разных пар. Но 6-5 и 5-6 — это два разных исхода: шестёрка может выпасть на первой кости или на второй. Поэтому:
- любой конкретный дубль, например 6-6, выпадает в 1 случае из 36 — примерно 2,8%;
- любая конкретная пара разных чисел, например 6-5, — в 2 случаях из 36, около 5,6%;
- какой-нибудь дубль вообще — в 6 случаях из 36, ровно 1 из 6, то есть примерно 16,7%.
Все дальнейшие расчёты — это просто подсчёт, сколько из 36 исходов подходят под условие.
Шанс выбросить нужное число
Сколько бросков содержат хотя бы одну шестёрку? Не 12, как подсказывает интуиция «по 6 на каждую кость», а 11: исход 6-6 иначе посчитался бы дважды. Значит, шанс увидеть конкретное число хотя бы на одной кости — 11 из 36, около 31%, а не треть.
Если подходит любое из нескольких чисел, проще посчитать от обратного: сколько бросков не содержат ни одного нужного. Для k нужных чисел таких бросков (6 − k)², остальные — подходящие.
| Сколько чисел подходит | Бросков из 36 | Шанс |
|---|---|---|
| 1 | 11 | 31% |
| 2 | 20 | 56% |
| 3 | 27 | 75% |
| 4 | 32 | 89% |
| 5 | 35 | 97% |
Эта же таблица отвечает на вопрос, как часто сбитая шашка в коротких нардах войдёт с бара: если в доме соперника открыто два пункта, войти можно 20 бросками из 36.
Дубли: как часто и сколько ждать
Дубль выпадает в среднем раз в шесть бросков. Но «в среднем» не значит «по расписанию»: вероятность, что за несколько бросков будет хотя бы один дубль, растёт медленнее, чем кажется.
| Бросков подряд | Хотя бы один дубль |
|---|---|
| 1 | 16,7% |
| 2 | 30,6% |
| 3 | 42,1% |
| 4 | 51,8% |
| 6 | 66,5% |
То есть у обычных костей даже за шесть бросков дубль приходит лишь в двух случаях из трёх. В длинных нардах из этого следует ещё одно: исключение для первого хода, когда при 6-6, 4-4 или 3-3 с головы снимают две шашки, срабатывает только в 3 случаях из 36, примерно в 8% партий для каждого игрока. Как разыгрывать эти первые броски с дублями, разобрано отдельно.
Сколько бросков приводят шашку на нужное расстояние
Главная таблица для практики. Шашка может пройти n пунктов одним числом, суммой двух чисел или дублем. Если по дороге нет закрытых пунктов, получается так:
| Расстояние | Бросков из 36 | Шанс |
|---|---|---|
| 1 | 11 | 30,6% |
| 2 | 12 | 33,3% |
| 3 | 14 | 38,9% |
| 4 | 15 | 41,7% |
| 5 | 15 | 41,7% |
| 6 | 17 | 47,2% |
| 7 | 6 | 16,7% |
| 8 | 6 | 16,7% |
| 9 | 5 | 13,9% |
| 10 | 3 | 8,3% |
| 11 | 2 | 5,6% |
| 12 | 3 | 8,3% |
| 15, 16, 18, 20, 24 | 1 | 2,8% |
Обратите внимание: шесть пунктов — самое «доступное» расстояние, до него дотягиваются 17 бросков. Это прямая шестёрка (11 бросков) плюс 5-1, 4-2 и дубли 3-3 и 2-2. А на семь пунктов и дальше шанс падает почти втрое: одним числом туда уже не дойти. Расстояния 13, 14, 17, 19, 21–23 недостижимы за один бросок вовсе.
Как закрытые пункты режут шансы
Таблица выше — для свободной дороги. Как только на пути встают закрытые пункты, составные броски отпадают: чтобы сыграть 5-1, шашка должна сначала встать на промежуточный пункт.
- Чтобы попасть на шесть пунктов вперёд, обычно хватает 17 бросков. Если все пять пунктов между ними закрыты, остаётся только прямая шестёрка — 11 бросков.
- На восемь пунктов попадают 6 бросков. Достаточно закрыть один пункт на расстоянии 4, и их остаётся 4: отпадают дубли 4-4 и 2-2.
- Если закрыты все пункты от второго до шестого, на восемь пунктов не дойти ни одним броском.
Именно поэтому заграждения в длинных нардах так сильны: каждая ваша шашка на пути соперника отнимает у него комбинации. О том, как превратить это в план партии, рассказано здесь.
Средний бросок и длина партии
Если сложить очки всех 36 бросков, считая дубли вчетверо, и разделить на 36, получится 49/6 ≈ 8,17 пункта за ход. Без учёта удвоения дублей средняя сумма двух костей — ровно 7, и самая частая сумма тоже 7: шесть исходов из 36.
Отсюда оценка длины партии. В длинных нардах каждому нужно пройти 360 пунктов: 15 шашек по 24. Это примерно 44 средних броска, без учёта потерь. В коротких на старте 167 пунктов — около 20–21 броска. Поэтому отставание на 8–9 пунктов означает примерно ход разницы, а тот, чья очередь ходить, в гонке получает небольшую фору.
Если хочется проверить эту арифметику на практике, проверить расчёты в партии с компьютером проще всего: начните считать пункты себе и сопернику каждые несколько ходов.
Как применять вероятности в игре
Длинные нарды
Бить здесь нельзя, поэтому вероятности работают на темп. Оставляя сопернику одну свободную клетку на шесть пунктов вперёд, вы даёте ему почти половину бросков. Свободная клетка в семи-восьми пунктах — уже лишь 1 шанс из 6. Чем дальше и «неудобнее» свободные пункты перед его шашками, тем чаще он будет терять ходы.
Короткие нарды
Здесь та же таблица — это шанс, что ваш блот собьют. Блот в шести пунктах от шашки соперника — почти 50 на 50, в семи и дальше — меньше 17%. Это главный ориентир, когда открывать шашку под удар, а когда лучше подождать. В коротких нардах, где шансы решают удар, такие расчёты окупаются уже в первой партии.
Честные кости и ощущение «невезения»
Когда соперник третий раз подряд выбрасывает дубль, кажется, что с кубиками что-то не так. У настоящих костей вероятность трёх дублей подряд — 1 из 216, и за несколько десятков партий такое обязательно случается. Деревянная кость не помнит прошлого броска, поэтому в одной партии одному игроку может заметно везти больше, чем другому, хотя в среднем шансы равны.
На Duelio генератор бросков проверен на 600 000 бросков: каждое число от 1 до 6 выпадает одинаково часто. А чтобы не было перекоса внутри партии, кости в нардах уравновешены: в каждой серии из 12 бросков у каждого игрока ровно два дубля — столько же, сколько в среднем дают обычные кости. Таблица про дубли выше описывает обычные кости за доской; на сайте серии из нескольких дублей подряд у одного игрока почти не встречаются. Бросить кости можно прямо в браузере, без входа в аккаунт. А если вам интересны вероятности не только в нардах, попробуйте покер на пяти кубиках — там та же математика, только комбинации другие.
Помните и о психологии: ошибки чаще возникают не от плохих бросков, а от игры «на удачу». Самые частые из них разобраны по ссылке.
